BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Matematika seringkali
didefinisikan sebagai ilmu pengetahuan yang
mempelajari tentang bilangan dan bangun (datar dan ruang). Definisi
tersebut benar, jika dipandang dari segi
wilayah kajian. Namun kecenderungan pada saat
ini, definisi matematika lebih dikaitkan dengan kemampuan berpikir
yang digunakan para matematikawan. NRC
(National Research Council) dari Amerika
Serikat menyatakan dengan singkat bahwa “Mathematics is a science of
patterns and order.” Artinya, matematika
adalah ilmu yang membahas pola atau
keteraturan dan tingkatan (Shadiq, 2007: 6).
Alam semesta memuat pola-pola
atau keteraturan-keteraturan. Matahari,
bumi, bulan, serta planet-planet yang lain berbentuk bola. Lintasan bumi
saat mengelilingi matahari, demikian
juga lintasan-lintasan planet lain saat
mengelilingi matahari, berbentuk elip. Alam semesta diciptakan Allah
dengan perhitungan-perhitungan yang
cermat, sehingga membentuk pola-pola tertentu.
Allah berfirman dalam al-Quransurat
al-Qamar ayat 49.
Artinya :“Sesungguhnya Kami
menciptakan segala sesuatu menurut ukuran” (Qs. al-Qamar/54: 49).
1
2 Semua yang ada di alam ini ada
ukurannya, ada hitung-hitungannya, ada
rumusnya, atau ada persamaannya. Ahli matematika tidak membuat suatu
rumus sedikitpun, melainkan hanya
menemukan rumus atau persamaan. Rumus-rumus
yang ada sekarang bukan diciptakan manusia, tetapi sudah disediakan.
Manusia hanya menemukan dan menyimbolkan
dalam bahasa matematika (Abdusysyakir,
2007: 79, 80).
Dengan demikian, dunia matematika
lahir dari rahim kesadaran bahwa alam
semesta diatur oleh hukum-hukum yang teratur. Dari kesadaran yang
sedemikian itu, manusia lalu berusaha mencandra
hukum-hukum keteraturan yang diikuti oleh
alam tersebut. Dari pencandraan itu, manusia lalu bisa menentukan dan
mengatur apa yang harus dilakukannya.
Hukum keteraturan di alam menjadi petunjuk dan
landasan bagi manusia untuk bertindak di alam ini (Alisah dan Dharmawan,
2007: 16, 17). Matematika memiliki beberapa pokok bahasan,
salah satunya adalah graf.
Wilson & Watkins (1990: 10)
menyatakan, graf terdiri dari himpunan tak kosong dari elemen-elemen yang disebut titik, dan
daftar pasangan tak berurutan dari
elemen-elemen tersebut yang dinamakan sisi. Dalam kehidupan sehari-hari,
graf digunakan sebagai visualisasi
obyek-obyek agar lebih mudah dimengerti. Contoh
graf dalam kehidupan sehari-hari antara lain: struktur organisasi, bagan
alir pengambilan mata kuliah, peta,
rangkaian listrik, dan lain-lain (Siang, 2004: 187).
Salah satu topik menarik pada
graf adalah pewarnaan graf, yaitu pemberian
warna (biasanya berupa bilangan bulat 1, 2, 3, ...) pada titik atau sisi
graf.
Pewarnaan graf dibagi menjadi dua
macam, yaitu pewarnaan titik dan pewarnaan
3 sisi. Namun, jika tidak
diberikan kualifikasinya, pewarnaan graf diartikan sebagai pewarnaan titik. Jika warna tertentu
diberikan pada sebuah graf, maka ada
beberapa cara untuk mewarnai graf tersebut. Banyak cara mewarnai graf
dengan warna tertentu dinyatakan dalam polinomial
khromatik atau suku banyak khromatik.
Masalah pewarnaan graf memiliki
banyak aplikasi, misalnya penentuan
jadwal ujian. Jadwal ujian ditentukan sedemikian sehingga tidak ada
mahasiswa yang memiliki dua mata kuliah yang
diujikan pada waktu bersamaan. Contoh
lainnya adalah saluran televisi ditentukan ke pemancar-pemancar,
sedemikian sehingga tidak ada dua
pemancar dapat beroperasi pada saluran yang sama dalam jarak tertentu (Rosen, 2003: 618). Selain
kedua masalah tersebut, ternyata
pewarnaan graf telah berkembang pada suatu permainan yang sangat
terkenal yaitu sudoku.
Sudokumerupakan teka-teki angka
yang diciptakan oleh Howard Gams dan
diterbitkan oleh Dell Magazines pada tahun 1979 dengan nama number
place.
Teka-teki ini menjadi terkenal di
Jepang pada 1986, setelah diterbitkan oleh
Nikoli dengan nama sudoku, yang berarti angka-angkanya harus tetap
tunggal
(http://id.wikipedia.org/wiki/sudoku). Tujuan dari permainan ini
adalah mengisikan angka 1 sampai 9 ke
dalam 9×9 persegi yang tediri dari sembilan
kotak berisi 3×3 persegi, tanpa ada angka yang terulang pada setiap
baris, kolom, dan kotak. Karena hanya
berupa angka, sudokudiminati banyak orang dan
menjadi trenddi berbagai belahan dunia sejak diterbitkan pertama kali di
harian The Times pada tahun 2004.
4
Ketika seseorang mencoba bermain sudoku, mungkin akan muncul
beberapa pertanyaan. Misalnya, apakah
teka-teki ini memiliki penyelesaian? Jika ada,
apakah penyelesaiannya hanya satu? Jika penyelesaiannya tidak satu,
berapa banyak penyelesaian yang ada?
Pertanyaan-pertanyaan tersebut membawa Agnez
M. Herzberg dan M. Ram Murty kepada dua teorema tentang polinomial khromatik yaitu: Teorema I.Misal Gadalah graf dengan vtitik
dan Cadalah pewarnaan parsial dari
ttitik di Gdengan menggunakan d0warna. Misal
) ( , λ C G p adalah banyak cara
melengkapi pewarnaan ini dengan λwarna untuk memperoleh pewarnaan dari G. Maka,
) ( , λ C G p adalah polinomial monik (dalam λ) berderajat
v-tdengan koefisien-koefisien bilangan
bulat untuk 0 d ≥ λ .
Teorema II.Misal Gadalah graf
dengan bilangan kromatik ) (G χ dan
Cadalah pewarnaan parsial dari Gdengan
hanya menggunakan 2 ) ( − G χ warna.
Jika pewarnaan parsial dapat dilengkapi
untuk pewarnaan total dari G, maka terdapat
paling sedikit dua cara dari penambahan pewarnaan (Herzberg dan Murty,
2007: 708-710).
Teka-teki sudokudapat dipandang
sebagai pewarnaan parsial dari graf.
Banyak cara menyelesaikan
teka-teki sudokuakan sama dengan banyak cara
mewarnai titik-titik yang belum diwarnai, yang dinyatakan dengan
polinomial khromatik. Inilah yang
menjadi ide dua teorema tersebut. Sehingga, dua teorema tersebut dikatakan sebagai teorema polinomial
khromatik dalam sudoku.
Teorema adalah pernyataan yang
dapat ditunjukkan kebenarannya. Teorema
dapat ditunjukkan kebenarannya dengan serangkaian pernyataan yang
membentuk 5 sebuah argumen, disebut bukti. Bukti pada
sebuah teorema berperan sebagai jaminan
kebenaran. Allah SWT telah berfirman dalam surat an-Naml ayat 64.
Artinya : “… Katakanlah: ‘Unjukkanlah
bukti kebenaranmu, jika kamu memang
orang-orang yang benar’ ”(Qs. an-Naml/27: 64).
Ayat di atas berkaitan dengan
pembuktian teorema. Bahwa setiap yang benar pasti dapat ditunjukkan bukti kebenarannya. Dengan
demikian, kedua teorema di atas juga dapat
ditunjukkan kebenarannya dengan bukti.
Berdasarkan uraian yang telah
disebutkan, skripsi ini bermaksud
menjabarkan pembuktian dua teorema yang ditulis oleh Agnez M. Herzberg
dan M. Ram Murty, yaitu teorema
polinomial khromatik dalam sudoku.
1.2
Rumusan Masalah
Latar belakang yang telah
diuraikan mendasari adanya rumusan masalah
dalam penelitian ini yaitu ”bagaimana pembuktian teorema polinomial
khromatik dalam sudoku?”.
1.3
Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang
telah disebutkan, maka tujuan penelitian
ini adalah mendeskripsikan pembuktian teorema polinomial khromatik
dalam sudoku.
1.4
Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat
memeberikan manfaat bagi: a. Peneliti, sebagai tambahan informasi dan
wawasan pengetahuan mengenai pembuktian
teorema polinomial khromatik dalam sudoku.
b. Pembaca, sebagai tambahan pengetahuan bidang
matematika khususnya teori graf mengenai
pembuktian teorema polinomial khromatik dalam sudoku.
c. UIN Malang, sebagai bahan kepustakaan yang
dijadikan sarana pengembangan wawasan
keilmuan, khususnya di Jurusan Matematika untuk
mata kuliah Teori Graf.
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan
dalam penulisan skripsi ini adalah
metode kajian literatur yaitu metode yang penelitiannya dilakukan
dengan menggunakan studi kepustakaan
dengan sumber-sumber buku, teks, dan
dokumen.
Dalam skripsi ini juga digunakan
metode analisis isi (content analysis) yaitu
penelitian atau kajian yang dilakukan dengan menelaah dari masing-masing
teori yang digunakan sebagai dasar
pembuktian atau metode penelitian, memanfaatkan
seperangkat prosedur untuk menarik kesimpulan yang sohih dari sebuah
buku atau dokumen (Handayani, 2005: 7).
Adapun langkah-langkah yang akan
dilakukan dalam penelitian ini adalah : 1. Menunjukkan posetdari penjabaran hipotesis
teorema I.
2. Menunjukkan berlakunya inversi mobius pada
penjabaran hipotesis teorema I.
7
3. Menunjukkan kebenaran konklusi
teorema I.
4. Menunjukkan kebenaran teorema I untuk jumlah
sisi terkecil dari graf.
5. Mengasumsikan benar untuk semua graf dengan
jumlah sisi kurang dari jumlah sisi graf
yang akan dibuktikan.
6. Menunjukkan kebenaran teorema I untuk graf
yang akan dibuktikan.
7. Menunjukkan kebenaran hipotesis teorema II.
8. Menunjukkan kebenaran konklusi teorema II.
1.6 Sistematika Pembahasan
Penelitian ini disusun secara
sistematis dengan perincian sebagai berikut :
Bab I merupakan pendahuluan yang
membahas tentang latar belakang masalah,
rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika pembahasan.
Bab II berupa kajian teori yang
berisikan teori-teori yang dapat dijadikan
sebagai dasar/landasan dalam penelitian ini. Teori-teori tersebut
meliputi graf, pewarnaan graf, pembuktian
dalam matematika, inversi mobius pada himpunan
terurut parsial, dan sudoku.
Bab III menyajikan pembahasan
yang merupakan inti dari penelitian.
Bab IV merupakan sajian penutup
yang meliputi kesimpulan dan saran yang
terkait dengan temuan studi.
Download lengkap Versi PDF
 | ||
| ||
| ||
| ||
|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
pesan skripsi